N sacs contiennent chacun n pièces (avec n>N). Mis à part UN sac qui contient de fausses pièces, tous les autres contiennent des pièces d'or. On dispose d'une balance numérique et on sait qu'une pièce en or pèse x grammes et une fausse pièce y grammes. Il est alors possible de trouver quel sac contient les fausses pièces en une seule pesée, laquelle ?
Trois prisonniers, A, B, C, sont dans leurs cellules. Ils savent qu'un des trois va être grâcié, les deux autre condamnés à mort. Un gardien arrive. A lui demande de lui désigner un des condamnés parmi B et C. Celui-ci désigne B.
A lui dit : « Merci, grâce à toi j'ai maintenant une chance sur deux d'être grâcié. »
C a entendu la conversation et répond :
« Pas du tout. C'est moi qui vous remercie, maintenant je sais que j'ai deux fois plus de chances (deux chances sur trois) d'être grâcié.
Qui a raison ?
Voici un paradoxe, je pense, très connu :
Un dimanche, un homme est condamné par un juge à être pendu à 12h, dans la semaine qui suit la condamnation, entre le lundi et le dimanche suivant). Il dit à l'accusé qu'il ignorera le jour jusqu'au matin de l'exécution. Une fois rentrée dans sa cellule, l'accusé se met à réfléchir :
« je ne serai pas pendu dimanche prochain car si je suis en vie samedi après 12h, je saurai que l'exécution a lieu le lendemain, ce qui contredira les propos du juge. Je ne serai pas pendu samedi car si je suis en vie le vendredi après 12h, je saurai que l'exécution a lieu le lendemain (puisque je viens d'éliminer le fait qu'elle ait lieu le dimanche), ce qui entrera encore en contradiction avec le décret du juge. »
En répétant ce raisonnement, il en déduit : « je ne serai pas pendu mardi ». Puis : « La seule possibilité qui reste est que je sois pendu demain lundi mais dans ce cas, ça contredit encore les propos du juge sur l'ignorance de la date de l'exécution. Je ne serai donc jamais exécuté ! »
Il s'endort apaisé et passe les jours suivants très sereinement. Le jeudi à 11h55, il est très surpris de voir le bourreau venir le chercher !
Vous avez les yeux bandés. On vous dit qu'il y a dix pièces devant vous. Six sont du côté pile, quatre du côté face. Vous devez faire deux tas qui auront le même nombre de pièces côté pile. Les tas peuvent être de taille différente.
SagesseLiberale N sacs contiennent chacun n pièces
Il manque un hypothèse.
SagesseLiberale Trois prisonniers,
Là aussi il manque des hypothèses, mais en prenant les hypothèses les plus "naturelles", on obtient la deuxième réponse.
SagesseLiberale Voici un paradoxe, je pense, très connu :
C'est effectivement classique, on peut chercher une réponse du côté de ce que sont les faits, ce qu'on sait, ce qu'on croit.
SagesseLiberale Vous avez les yeux bandés
J'ai l'idée de retourner certaines pièces, mais je ne suis pas sur que ça marche, la contrainte n'est elle pas plutôt d'avoir soit autant de pile dans les deux tas, soit autant de face dans les deux tas ?
cheshire-cat Il manque un hypothèse.
En effet, j'ai oublié de préciser qu'on connaît aussi la masse d'une fausse pièce. On peut la noter y.
cheshire-cat Là aussi il manque des hypothèses, mais en prenant les hypothèses les plus "naturelles", on obtient la deuxième réponse.
Là je ne vois pas quelles hypothèses manquent sauf peut-être que le gardien n'a pas de préférence quant à désigner B ou C s'ils sont tous les deux condamnés ou encore que A et B ont exactement les mêmes informations.
cheshire-cat J'ai l'idée de retourner certaines pièces, mais je ne suis pas sur que ça marche, la contrainte n'est elle pas plutôt d'avoir soit autant de pile dans les deux tas, soit autant de face dans les deux tas ?
Oui vous avez raison, l'astuce est là. On peut également l'énoncer comme vous proposez. Je pense que la contrainte plus stricte que je propose implique de déterminer quel tas doit être retourné.
SagesseLiberale Là je ne vois pas quelles hypothèses manquent sauf peut-être que le gardien n'a pas de préférence
Ainsi que le souverain qui a décidé préalablement de façon équiprobable du condamné gracié.
C'est exact. Ou peut-être simplement l'hypothèse que les prisonniers font l'hypothèse d'équiprobabilité.
Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ?
Par signe j'entends les lettres de l'alphabet, les chiffres, les signes mathématiques usuels (<,>,...).
Un classique.
Tout est dans le mot "défini", comment définissez vous précisément le fait de définir ?
Un point de vue intéressant sur ce paradoxe est celui de la complexité de Kolmogorov.
La solution est la suivante : prenez 1 pièce dans le 1er sac, 2 pièces dans le 2ème sac, N pièces dans le Nème sac. Vous les pesez. Si toutes les pièces étaient en or, la masse serait M=x(N+1)N/2. Si le 1er sac contient les fausses pièces, vous trouverez comme masse M-(x-y), si le 2ème sac M-2(x-y), si c'est le Nème M-N(x-y).
La réponse intuitive serait de dire que A a raison. En réalité c'est C. Pour s'en rendre compte sans passer par des calculs de probabilités conditionnelles, il faut se dire qu'il y a 2 chances sur 3 que le gracié soit parmi B et C, en éliminant B, les 2 chances sur reviennent à C.
La solution apporté par W. O. Quine est la suivante :
le condamné commet une faute de raisonnement en ne distinguant que deux alternatives à propos de ce qui sera le samedi après-midi.
(1) l'exécution aura eu lieu avant le samedi à 12h ou avant.
(2) l'exécution aura lieu le lendemain et le prisonnier en a conscience
Le prisonnier élimine l'alternative (2) qui est contraire aux propos du juge quant à l'ignorance du prisonnier du moment de l'exécution. Il reproduit ensuite le raisonnement au jour précédent, etc et arrive à la conclusion que l'on sait.
Mais il oublie deux alternatives :
(3) l'exécution n'aura pas lieu le lendemain (ce qui est contraire au décret d'exécution)
(4) l'exécution aura bien lieu le lendemain mais le prisonnier ignore, le samedi, si le décret sera exécuté.
Le raisonnement du prisonnier permet d'éliminer (2) et (3) mais pas (4).
Vous formez un tas A en prenant 6 pièces et un tas _B _ avec les 4 restantes. Dans A il y a x pièces du côté face et donc 6-x pièces du côté pile. Dans B, il y a alors x pièces côté pile. Vous retournez les pièces de A, vous avez ainsi aussi bien x pièces côté pile dans A et B.
Si on avait voulu autant de pièces côté face dans A et B, on aurait retourné les pièces de B au lieu de A.
SagesseLiberale Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ?
Par signe j'entends les lettres de l'alphabet, les chiffres, les signes mathématiques usuels (<,>,...).
Deux alternatives possibles :
A. 1. : L'ensemble E des entiers qui peuvent être écrits ou définis en moins de 67 signes est un ensemble fini et l'ensemble des entiers est un ensemble dénombrable. Or tout ensemble dénombrable privé d'un ensemble fini possède un plus petit élément (proposition mathématique assez facile à prouver, si besoin je le ferai). L'ensemble des entiers privé de E correspond à l'ensemble des entiers qui ne peuvent ni être écrits ni être définis en moins de 67 signes et possède ainsi un plus petit élément. La réponse est alors oui : le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe.
A. 2. : Supposons que le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe, on vient pourtant de le définir en 66 signes (l'expression « le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes » comporte 66 signes). La réponse est alors non.
Une résolution du paradoxe (ou de l'antinomie pour reprendre les mots de W. V. O. Quine) passe par l'introduction des concepts de langage objet et métalangage. Le métalangage est la langage qui permet de tenir un discours à propos du langage objet.
Dans le cas présent, le langage objet sera l'ensemble des expressions qui peuvent être construites à partir des lettres de l'alphabet, des chiffres, des signes mathématiques usuels (<,>,...), exceptés les termes « écrit » et « défini ». Le métalangage est constitué du langage objet auquel on rajoute les termes « écrit » et « défini ».
Enfin pour résoudre le paradoxe, il faut préciser que dans l'énonce E : « Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ? », « écrit » signifie « écrit dans le langage objet » et « défini » signifie « défini dans le langage objet ».
Une fois cela posé, l'alternative A. 2. disparaît en remarquant que le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes peut se définir dans le métalangage en 66 signes, sans contradiction.
Il existe donc bien un plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini (dans le langage objet) en moins de 67 signes mais qu'on peut définir en 66 signes dans le métalangage.
Un nouveau paradoxe :
Je définis d'abord les termes « autologique » et « hétérologique ». « Autologique » se dit à propos d'un mot qui est vrai de lui-même. « Hétérologique » se dit d'un mot qui n'est pas autologique. Exemple : le mot « court » est autologique car « court » est un mot court. Par contre « long » est hétérologique car « long » est un mot court (et donc il n'est pas long).
Autre exemple : le mot « monosyllabique » est hétérologique alors que « polysyllabique » est autologique.
Dernier exemple : dans le cas présent le mot « noir » est autologique car il est écrit en noir. « Rouge » est par contre hétérologique.
Une fois cela posé voici l'énoncé du paradoxe :
Le mot « hétérologique » est-il autologique ou hétérologique ?
