SagesseLiberale Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ?
Par signe j'entends les lettres de l'alphabet, les chiffres, les signes mathématiques usuels (<,>,...).
Deux alternatives possibles :
A. 1. : L'ensemble E des entiers qui peuvent être écrits ou définis en moins de 67 signes est un ensemble fini et l'ensemble des entiers est un ensemble dénombrable. Or tout ensemble dénombrable privé d'un ensemble fini possède un plus petit élément (proposition mathématique assez facile à prouver, si besoin je le ferai). L'ensemble des entiers privé de E correspond à l'ensemble des entiers qui ne peuvent ni être écrits ni être définis en moins de 67 signes et possède ainsi un plus petit élément. La réponse est alors oui : le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe.
A. 2. : Supposons que le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe, on vient pourtant de le définir en 66 signes (l'expression « le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes » comporte 66 signes). La réponse est alors non.
Une résolution du paradoxe (ou de l'antinomie pour reprendre les mots de W. V. O. Quine) passe par l'introduction des concepts de langage objet et métalangage. Le métalangage est la langage qui permet de tenir un discours à propos du langage objet.
Dans le cas présent, le langage objet sera l'ensemble des expressions qui peuvent être construites à partir des lettres de l'alphabet, des chiffres, des signes mathématiques usuels (<,>,...), exceptés les termes « écrit » et « défini ». Le métalangage est constitué du langage objet auquel on rajoute les termes « écrit » et « défini ».
Enfin pour résoudre le paradoxe, il faut préciser que dans l'énonce E : « Le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes existe-t-il ? », « écrit » signifie « écrit dans le langage objet » et « défini » signifie « défini dans le langage objet ».
Une fois cela posé, l'alternative A. 2. disparaît en remarquant que le plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini en moins de 67 signes peut se définir dans le métalangage en 66 signes, sans contradiction.
Il existe donc bien un plus petit entier qui ne peut ni être écrit ni être défini (dans le langage objet) en moins de 67 signes mais qu'on peut définir en 66 signes dans le métalangage.
