Tout vient de l'origine du mot messe chez les catholiques romains : à la fin des assemblées de prière eucharistique, le prêtre ou un diacre reprend cette expression «ite missa est» «Allez, c’est l’envoi» pouvant alors sous-entendre: Allez vivre votre mission de chrétien dans le monde.
Chez les orthodoxes, cette expression n'existe pas, et pour cause, ce n'est pas en latin. Du coup, les offices eucharistiques s'appellent des divines liturgies ("service" en grec) et pas des messes, trop réducteur.